[Cabrinews] Re: R: Problema di probabilità

[Rossetto Silvano]

Carissimi, intanto ringrazio Mauro per la pronta 
risposta. Non sono molto 'portato' alle 
discussioni 'filosofiche' sulla matematica e 
sulla didattica, ma questa volta mi sento di fare 
due chiose sul bel problema proposto da Michele.
La prima: quando si può (è questo un caso?) vale 
la pena dare la soluzione più secca in modo che 
sia comprensibile al pubblico (compresi i nostri 
allievi) più vasto possibile? Capisco la 
necessità di opportuni strumenti, anche 
linguistici, per evitare cantonate, ma forse 
questo contribuisce a rendere la matematica così 
lontana dall'attenzione di tutti.
Per il problema proposto c'è un risvolto che 
potrebbe colpire l'immaginazione collettiva: se 
un controllo su un campione di 100 persone dà 
esito negativo quanto si può stare tranquilli 
sulla diffussione del virus? Dire che c'è una 
probabilità superiore al 63% che l'infezione 
raggiunga 'fino' all'1% la popolazione farebbe 
saltare tutti sulla sedia. Sul 'fino' c'è sempre 
il discorso del 'mezzo pieno e mezzo vuoto': 
dipende di cosa stiamo parlando ...
La seconda: mi sembra che la soluzione sia anche 
un bel esempio di una applicazione utile 
dell'integrale di un polinomio. Chi direbbe che è 
inutile che una persona di cultura media (che 
abbia fatto una decente scuola superiore) lo 
conosca? Certo, l'ultimo calcolo deve essere 
fatto per forza con un opportuno strumento (anche 
una semplice calcolatrice scientifica con gli 
esponenziali), ma è un peccato (penso) non 
approfittarne per dare senso ad un argomento che 
comunque richiediamo ai nostri allievi. Mi 
piacerebbe sentire su questo uno spassionato (o 
appassionato) intervento in particolare di Mauro 
e di Paolo. Silvano Rossetto




At 09.05 24/05/2009, you wrote:
>Uno screening virale su un campione di 100 
>persone scelte a caso rivela che nessuna di esse 
>è infetta. Qual è la probabilità che il numero 
>di infetti tra la popolazione sia minore dell'1%?
>
>
>
>Questo problema va risolto con un 
>condizionamento alla Bayes. La prima ipotesi da 
>fare è che la dimensione della popolazione sia 
>molto più grande di 100 così da ritenere il 
>campione di tipo bernoulliano. La seconda 
>ipotesi è l'evento (S100 = 0), ovvero che in un 
>campione "senza rimessa" di dimensione 100 si 
>sono avuti 0 successi (essere infetto). 
>Supponiamo poi, secondo Bayes, che la 
>probabilità p di un successo sia una variabile 
>aleatoria con densità uniforme su [0,1]. Ipotesi 
>non debole (come scrive Michele Impedovo) ma, in 
>mancanza di qualsiasi informazione sulla 
>popolazione, la più ragionevole in quanto la 
>densità uniforme è, tra tutte le densità 
>definite su un intervallo, quella che ha la 
>massima entropia probabilistica (vedi 
>Boltzmann). Si può dimostrare (cfr. articolo 76, 
>Introduzione al pensiero bayesiano, del sito 
>www.webalice.it/mauro.cerasoli 
><http://www.webalice.it/mauro.cerasoli>  ) che, 
>in generale, la densità condizionata f(p|Sn=k) vale
>
>
>
>  (n+1)(n k )pk(1-p)n-k.
>
>
>
>Nel caso specifico, si riduce a
>
>
>
>f(p|S100=0) = 101(1-p)100
>
>
>
>Pertanto la probabilità richiesta dal problema è 
>l'integrale di questa densità tra 0 e 0,01 che 
>vale circa 0,63762798 (calcolata con TI-nspire).
>
>Questo valore corrisponde a 1 -0,99101 dato da  Silvano Rossetto.
>
>
>
>Saluti
>
>Mauro Cerasoli
>SS 5 bis n° 7, L'Aquila  67100
>Tel. 3404178468
>www.webalice.it/mauro.cerasoli
>