[Cabrinews] Gauss e le dimostrazioni semplici

[rt.malaspina]

Caro prof. Cerasoli,
grazie per il suo intervento sulle dimostrazioni semplici. 
Credo sia un allenamento importante da far fare ai nostri 
ragazzi, quello di abituarli ad inventare una strategia 
risolutiva. Leggevo da qualche parte che in Giappone gli 
insegnanti propongono agli studenti dei problemi non 
conformi a quelli già svolti, ma risolubili con le 
conoscenze che gli studenti hanno acquisito. Lo trovo molto 
interessante. Inoltre, sono ben felice di accogliere e 
apprezzare soluzioni diverse da quelle che, magar, sono 
venute in mente a me, per un problema. E' divertente per i 
ragazzi mettersi alla prova, e lo è molto anche per me.
Grazie.
Rita


----- Original Message ----- 
From: <mauro.cerasoli a alice.it>
To: "Paolo Francini" <paolo.francini a uniroma1.it>; "Lista di 
discussione sul software matematico" 
<cabrinews a liste.keynes.scuole.bo.it>
Sent: Saturday, January 31, 2009 5:41 PM
Subject: [Cabrinews] Gauss e le dimostrazioni semplici


Caro Paolo
ho apprezzato le tue riflessioni sulle definizioni che 
condivido in larga parte, però ci sono due punti sui quali 
desidero intervenire e cioè dove dici
"oppure si cadeva nella più bieca banalità aneddotica (la 
nota vicenda del piccolo Gauss e del maestro che lo punì)".

Intanto il maestro non lo punì, ma lo premiò. Su questo ha 
già risposto Maurizio Frigeni e altre informazioni le trovi 
su "I grandi Matematici" di Eric Temple Bell. Mi permetto di 
osservare che quello che conta non è "se è stato o no Gauss 
a dimostrare in quel modo che la somma faceva 5050 (si 
rischia di guardare il dito) ma che c'è un metodo semplice 
ed elegante per fare presto i conti, diverso da quello che 
ha sempre insegnato il maestro (invece di guardare la luna). 
Ti posso assicurare che quando racconto questa storiella a 
"non docenti di matematica" e soprattutto a chi, per esempio 
in treno o in albergo, dichiara che "odia la matematica", in 
genere mi sento rispondere: "Perbacco, come mai a scuola 
queste cose non le dicono e ci fanno fare quei brutti conti 
come voleva quel maestro?".

Poi aggiungi:
 "Oltretutto il problema con soluzione breve e fulminante, 
supremamente intelligente, tende ad essere umiliante (o lo 
sai fare oppure non fai nulla, non c'è storia; se non lo sai 
fare, c'è pure il rischio di sentirsi scemi)".

Questo invece è il punto su cui non sono d'accordo e mi 
dispiace che tu la pensi così. Intanto spesso a "essere 
umiliato" è il docente che dall'allievo si sente dare questa 
"soluzione breve e fulminante" e quindi è lui che "rischia 
di sentirsi scemo". Ti faccio un esempio che, a differenza 
di quello del piccolo Gauss, è poco noto. Il problema della 
trave da ricavare da un tronco: qual è il rettangolo di area 
massima che si può inscrivere in un cerchio? I quasi tutti i 
libri di testo la soluzione è data indicando con x la base 
del rettangolo. Si deriva (nel senso che si fa una derivata) 
una espressione con radicali, si risolve un'equazione e si 
conclude che è il quadrato.
In qualche libro più sveglio puoi trovare la soluzione in 
cui con x si indica l'angolo tra la diagonale (diametro) e 
la base del rettangolo. Questa volta la soluzione si ricava 
senza derivate perché sin(2x) è massimo per x uguale a 45°.
Ora ti chiedo: se la prossima volta che risolvi il problema 
nei modi precedenti, uno studente ti dice:
" professore ma è facile, l'area del rettangolo non è uguale 
solo a base per altezza, come ci ha insegnato lei, ma anche 
a diagonale per altezza relativa alla diagonale. Siccome la 
diagonale è costante, sempre uguale al diametro, l'area è 
massima quando l'altezza (la x giusta) è uguale al raggio e 
quindi è il quadrato!"
tu come ci resti?
Poi si alza un altro studente e dice: "Professore, c'è una 
soluzione ancora più semplice. L'area del rettangolo parte 
da zero quando la base è il diametro orizzontale e 
l'altezza, ridotta a un punto, è nulla. Poi cresce per 
ridiventare zero quando la base è un punto e l'altezza è il 
diametro verticale. Per ovvi motivi di simmetria il massimo 
si deve avere nel punto centrale dell'arco che percorre 
l'estremo in alto a destra, cioè quando è un quadrato.
Ecco, dopo quest'altra soluzione, chi è che si sente 
umiliato?
Queste soluzioni puoi darle anche alla scuola elementare, 
dove non ci sono seni né derivate. Basta fare come Gauss. 
Credo che in questo consista insegnare bene la matematica, 
non a calcolare  derivate.
Voglio confessarti che molti dei miei primi lavori di 
ricerca in probabilità erano di questo tipo: generalizzare 
risultati noti ridimostrandoli con tecniche molto semplici, 
invertendo certi punti di vista. Ma questa è un'altra storia 
(come concluse il barista  baffone alla fine del film "Irma 
la dolce").
Saluti cari con simpatia
Mauro


Tel. 3404178468 - 3331435801

www.webalice.it/mauro.cerasoli
www.matnat.org