[Cabrinews] Definizioni?

[Paolo Francini]

Vorrei riprendere la domanda del primo messaggio.

Perché distinguere cerchio e circonferenza, mentre lo stesso si fa per i
poligoni?

Io partirei da una considerazione empirica. Dentro il cerchio si fa molta
matematica. In molti problemi geometrici le cose accadono "dentro" o fuori o
intorno a un cerchio. Vi sono proprietà metriche, geometriche (esistenza di
rette tangenti) e angolari che caratterizzano i punti interni o esterni o
sopra una circonferenza. L'esigenza di una convenzione linguistica (e quindi
concettuale) che eviti malintesi o necessità di continue precisazioni può
essere un fatto spontaneo, che poi si traduce in definizioni esplicite.

Sui poligoni l'esigenza deve essere risultata meno avvertita perché
probabilmente il loro interno, come ambiente ospitante situazioni
geometriche, si è rivelato meno significativo "in quanto interno di un dato
poligono". Naturalmente, se serve, lo si designa come "interno di un
poligono". Ma l'esperienza maturata non deve aver incontrato la necessità di
questo tipo di esplicitazione con frequenza sufficiente a generare la
nascita di una definizione di uso comune.

[nota a margine: l'interno del cerchio si definisce agevolmente in vari
modi, coniugando estremo rigore, brevità, semplicità, generalità, chiarezza
... provate a definire l'interno di un pentagono o di un poligono arbitrario
(ma già un triangolo pone alcune insidie) con lo stesso rigore... che ne è
della brevità, semplicità, generalità, chiarezza...? succederà precisamente
il contrario: che solo per definire l'interno di un poligono in maniera
soddisfacente c'è bisogno di acquisire consapevolezze chiarificanti e
macinare nuovo pensiero matematico, e scavare più a fondo dentro relazioni 
che in un primo
momento possono sottrarsi alla vista; il che può benissimo essere 
un'attività di estremo
interesse didattico, ma non la si sbriga in pochi minuti]

L'esigenza di definizioni chiare e precise non è uniforme ma varia
grandemente con i problemi che si incontrano e con il contesto in cui ci si
colloca.

Definire vuol dire non solo riassumere lunghe espressioni, ma spesso
esplicitare o perfino generare dei concetti. Il fatto stesso che una tale
definizione si sia data può essere il segno di un'acquisizione di
consapevolezza circa la rilevanza di una data distinzione. Le definizioni 
sono, da tutti i punti di vista, prodotti di primaria importanza: se la 
matematica è un grosso insieme di tautologie (e, una volta esplicitati 
postulati e termini primitivi, lo è), allora l'individuazione degli oggetti 
di tali tautologie è una parte decisiva di questa costruzione.

E' vero che nel linguaggio comune si confondano area e superficie,
perimetro e sua misura, bordi e interni, (o anche aula e classe), o che per
esempio il concetto di "uguaglianza" in Euclide sia una mistura di varie
relazioni, spesso con-fuse nell'uso del verbo essere (quella che oggi
chiamiamo congruenza, ma anche l'equiestensione per esempio), senza 
conseguenze terribili. In genere le
cose funzionano in maniera accettabile, perché il lettore, o lo studente o
l'insegnante, si trova in un dato contesto, è interessato a determinati
aspetti e "legge" il testo o la lezione sotto il filtro di quel che egli vi 
cerca o si aspetta: sorregge i
significati dei termini con i riferimenti che ha in mente, i quali sono
condivisi in un dato ambiente. Se necessario, il lettore sta al gioco, ci 
mette del suo e vi
di aggiunge spontaneamente, spesso inconsapevolmente, le assunzioni 
implicite che si rendono necessarie  (pensiamo alle
questioni di continuità o di partizione del piano nella trattazione di
Euclide, di cui per millenni nessuno ha sentito la mancanza, o ai tribolati
avvii fondazionali del calcolo infinitesimale). E' però va visto come 
conquista, come avanzamento dello spirito matematico, il fatto di sapere via 
via individuare queste criticità, rendersi consapevoli ed esplicitare le 
varie assunzioni e
porsi il problema di una loro chiarificazione: il che porta appunto a dare 
definizioni.

Un saluto,
Paolo


----- Original Message ----- 
From: "quagliaf" <quagliaf a gmail.com>
To: <cabrinews a liste.keynes.scuole.bo.it>
Sent: Tuesday, January 20, 2009 9:04 AM
Subject: [Cabrinews] Definizioni?


Già che siamo sulle definizioni o sulle loro motivazioni, che cosa
rispondereste ad un alunno del biennio che chiede:" Perchè si distingue
il cerchio dalla circonferenza, ma la stessa distinzione  non viene
proposta almeno  per i triangoli se non per altri poligoni. Anche nel
caso del triangolo capita di usare solo "il perimetro".
Mi piacerebbe sentire il vostro parere.
Franca Quaglia
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