[Cabrinews] R: Re: (senza oggetto)

[Ezio Monti]

Può essere interessante una risoluzione grafica del problema con Geogebra.
Utilizzando la seconda procedura:

"trovo l'equazione generica della normale in un punto dell'iperbole e 
impongo che passi per (0,1/2)"

si determina l'equazione di quarto grado 2x^4-3x-18=0 che fornisce le 
ascisse dei punti nei quali le due circonferenze sono tangenti all'iperbole.
A questo punto, con Geogebra, si può disegnare il grafico della curva 
y=2^4-3x-18 che incontra l'asse x in due punti.
Tracciando le parallele all'asse y passanti per questi due punti si 
determinano i punti di tangenza dell'iperbole ed in questo modo è possibile 
disegnare il grafico delle due circonferenze.

Ezio Monti

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Sent: Friday, April 24, 2009 12:47 PM
Subject: Re: [Cabrinews] R: Re: (senza oggetto)



> Anche a me sembra che siano questi i valori corretti, ma non sono riuscito 
> a
> trovare i valori "esatti" e non credo che esista un metodo elementare, a 
> meno
> di usare la formula per le equazioni di quarto grado... ma non si può fare 
> in
> terza liceo scientifico ed è comunque difficile in ogni caso.

Ritengo che per come è pensato il nostro liceo scientifico tu abbia ragione.
Però il problema è carino e, in altro paese e altra scuola, credo che 
offrirebbe alcuni spunti interessanti di riflessione.
Il primo è sulla parola "esatti", che nella tradizione scolastica significa 
esprimibili con radicali quadratici: si potrebbe approfittarne per 
illustrare il vecchio dilemma se usare solo riga e compasso o anche altre 
figure. Questo è un caso in cui riga e compasso non bastano, però già gli 
antichi sapevano risolverlo intersecando le coniche: il problema si può 
riformulare come ricerca delle normali alla iperbole passanti per (0,1/2), e 
ciò che mi ha impressionato è che Apollonio aveva già studiato la questione 
nelle Coniche e aveva dimostrato che i piedi delle normali (al massimo 4) 
stanno su una iperbole equilatera che si può costruire, e quindi si possono 
trovare intersecando due coniche. Tra l'altro Apollonio aveva precorso anche 
il suggerimento di Tito descrivendo le normali come linee di minima e 
massima distanza del punto dalla conica.
Se fossi libero dall'assillo di esami futuri e compiti ecc. proverei a far 
risolvere il problema ai ragazzi, almeno fino al punto in cui arrivano ad 
un'equazione (di quarto grado) e poi li inviterei a farsi aiutare da Derive 
per la soluzione, come ho fatto io. Io ho seguito due vie alternative:
- scrivendo come x^2+y^2-y=k l'equazione del cerchio, trovo l'equazione 
delle intersezioni con xy=-3 come 9/y^2+y^2-y=k e chiedo quanto deve valere 
k perché abbia una radice doppia (non so se in terza possano affrontare 
questa questione)
- trovo l'equazione generica della normale in un punto dell'iperbole e 
impongo che passi per (0,1/2), e questa mi sembra la via più semplice
Non ho esplorato la via dei massimi e minimi.
Se per caso c'è un seguito, facci sapere.

Ciao

Giovanni

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