[Cabrinews] R: Re: (senza oggetto)

[polarprof a libero.it]

> Anche a me sembra che siano questi i valori corretti, ma non sono riuscito a 
> trovare i valori "esatti" e non credo che esista un metodo elementare, a meno 
> di usare la formula per le equazioni di quarto grado... ma non si può fare in 
> terza liceo scientifico ed è comunque difficile in ogni caso.

Ritengo che per come è pensato il nostro liceo scientifico tu abbia ragione.
Però il problema è carino e, in altro paese e altra scuola, credo che offrirebbe alcuni spunti interessanti di riflessione.
Il primo è sulla parola "esatti", che nella tradizione scolastica significa esprimibili con radicali quadratici: si potrebbe approfittarne per illustrare il vecchio dilemma se usare solo riga e compasso o anche altre figure. Questo è un caso in cui riga e compasso non bastano, però già gli antichi sapevano risolverlo intersecando le coniche: il problema si può riformulare come ricerca delle normali alla iperbole passanti per (0,1/2), e ciò che mi ha impressionato è che Apollonio aveva già studiato la questione nelle Coniche e aveva dimostrato che i piedi delle normali (al massimo 4) stanno su una iperbole equilatera che si può costruire, e quindi si possono trovare intersecando due coniche. Tra l'altro Apollonio aveva precorso anche il suggerimento di Tito descrivendo le normali come linee di minima e massima distanza del punto dalla conica.
Se fossi libero dall'assillo di esami futuri e compiti ecc. proverei a far risolvere il problema ai ragazzi, almeno fino al punto in cui arrivano ad un'equazione (di quarto grado) e poi li inviterei a farsi aiutare da Derive per la soluzione, come ho fatto io. Io ho seguito due vie alternative:
- scrivendo come x^2+y^2-y=k l'equazione del cerchio, trovo l'equazione delle intersezioni con xy=-3 come 9/y^2+y^2-y=k e chiedo quanto deve valere k perché abbia una radice doppia (non so se in terza possano affrontare questa questione)
- trovo l'equazione generica della normale in un punto dell'iperbole e impongo che passi per (0,1/2), e questa mi sembra la via più semplice
Non ho esplorato la via dei massimi e minimi.
Se per caso c'è un seguito, facci sapere.

Ciao

Giovanni