[Cabrinews] Quesito

[Paolo Francini]

Considerato il triangolo (generico) ABC, chiamare:
C' , C''  i punti che dividono il lato AB in tre parti congruenti 
(AC'<AC'');
A', A''   i punti che dividono il lato BC in tre parti congruenti 
(BA'<BA'');
B', B''   i punti che dividono il lato CA in tre parti congruenti 
(CB'<CB'').
Indicare quindi con:
    L il punto intersezione dei segmenti  AA' e BB'';
    M il punto intersezione dei segmenti AA' e CC'';
    N il punto intersezione dei segmenti BB' e CC'';
    P il punto intersezione dei segmenti BB' e AA'';
    Q il punto intersezione dei segmenti CC' e AA'';
    R il punto intersezione dei segmenti CC' e BB'';
Dimostrare, con il metodo che si preferisce, che l'area dell'esagono
LMNPQR  è 1/10 di quella del triangolo ABC.



Il problema è davvero grazioso, anche se forse un po' laborioso.
Ma potrebbero senza dubbio esserci soluzioni più rapide.
Purtroppo è difficile da scrivere senza tracciare figure, la descrizione 
verbale rende il comunicare la faccenda molto più difficile di quanto non 
sia l'idea.
In classe, questi problemi si fanno spesso indicando i vari segmenti e 
triangoli e dicendo "questo", "quello", "quello grande", "quello piccolo", 
etc.
Per iscritto, invece, tocca dare un nome a tutti punti che svolgono un ruolo 
e già questo rende tutto oltremodo pesante.

Comunque ci provo. Se qualcuno sa dirmi come snellire il procedimento, ne 
sarei contento.

Intanto, senza perdere generalità, possiamo soppurre che il triangolo dato 
sia equilatero.
Se non lo fosse, operiamo su di esso un'affinità che lo porti in un 
triangolo equilatero: mostrando che l'esagono ottenuto in quest'ultimo è 
1/10 di esso, lo stesso sarà vero anche per il triangolo iniziale (qualunque 
affinità lascia invariati i rapporti tra aree).

A dire il vero questa mossa non è poi così indispensabile, solo che la 
maggiore simmetria rende un po' più semplice seguire la costruzione.
In realtà, in pratica mi sembra che non si usa mai davvero il fatto che si 
lavora in un triangolo equilatero: i ragionamenti si potrebbero replicare in 
maniera analoga per un triangolo qualsiasi (con gli opportuni 
aggiustamenti).

Pertanto, assumo che ABC è un triangolo equilatero.
Chiamerò d il suo lato, h la sua altezza, T la sua area, E l'area 
dell'esagono.

Indicando con "A[X]" l'area di una superficie X, si ha 
(inclusione-esclusione):

A[AA'A'' u BB'B'' u CC'C'']
=
A[AA'A''] + A[BB'B''] + A[CC'C'']
 - A[AA'A'' intersecato BB'B'']
 - A[BB'B'' intersecato CC'C'']
 - A[CC'C'' intersecato AA'A'']
+ A[AA'A'' intersecato BB'B'' intersecato CC'C'']
=
3 A[AA'A''] - 3 A[AA'A'' intersecato BB'B''] + E
=
T - 3 A[AA'A'' intersecato BB'B''] + E.    (*)

(ognuno dei triangoli del tipo AA'A'', come anche AA'B, equivale a 1/3 di 
ABC)

Dunque per trovare E si tratta di calcolare
A[AA'A'' u BB'B'' u CC'C''] e [AA'A'' intersecato BB'B''].

Chiamo Z l'intersezione di CC'' e AA''.
Il triangolo CA''Z è simile a CC''B.
Perciò  A[CA''Z] = (1/9)A[CC''B] = T/27.

Poiché
A[AA'A'' u BB'B'' u CC'C''] = A[ABC] - 6 A[CA''Z] = T - (6/27)T = (7/9)T, si 
ha quindi (dalla (*)):

E = 3 A[AA'A'' intersecato BB'B''] - (2/9)T.    (**)

Rimane solo da trovare l'area del quadrilatero (AA'A'' intersecato BB'B'').

Chiamo H il punto medio di AB.
Voglio trovare HP e HL.
Naturalmente, per la simmetria, P e L si trovano entrambi sopra il segmento 
HC.
Siano K'' e K', nell'ordine, le proiezioni ortogonali di A'' e di A' sul 
lato AB.

Talete:
BK' = (1/3) BH = d/6,  da cui:  AK' = (5/6)d.
A'K' = (1/3) CH = h/3.
Pertanto:
AH : HL = AK' : K'A',  ossia:
d/2 : HL = (5/6)d : h/3,  da cui:
HL = h/5.

Si può fare lo stesso per trovare HP.
Talete:
BK'' = (2/3) BH = d/3,  da cui:  AK'' = (2/3)d.
A''K'' = (2/3) CH = (2/3)h.
Pertanto:
AH : HP = AK'' : K''A'',  ossia:
d/2 : HP = (2/3)d : (2/3)h,  da cui:
HP = h/2.

Dal fatto che HL=h/5 segue che A[ABL]=T/5 (vedendo ABL come unione dei 
triangoli AHL e BHL, in essi possiamo vedere AH e BH come altezze relative a 
HL, che appunto è 1/5 di HC).
Allo stesso modo da HP=h/2 segue che A[ABP]=T/2.

Ora si può stabilire l'area del quadrilatero (AA'A'' intersecato BB'B'').
Chiamo V l'intersezione di AA' e BB' e chiamo W l'intersezione di BB'' e 
AA''.

Si ha:
A[AA'A'' intersecato BB'B'']
=
A[ABP] - A[ABA'] - A[BAB''] + A[BVA'] + A[AWB''] + A[ABL]
=
T/2 - T/3 - T/3 + T/27 + T/27 + T/5
=
(29/270)T.

In conclusione, tornando alla (**):
E = 3(29/270)T - (2/9)T = T/10.