[Cabrinews] R: Problema di probabilità

Dom 24 Maggio 2009 09:05:45 CEST

Uno screening virale su un campione di 100 persone scelte a caso rivela che nessuna di esse è infetta. Qual è la probabilità che il numero di infetti tra la popolazione sia minore dell'1%?

Questo problema va risolto con un condizionamento alla Bayes. La prima ipotesi da fare è che la dimensione della popolazione sia molto più grande di 100 così da ritenere il campione di tipo bernoulliano. La seconda ipotesi è l'evento (S100 = 0), ovvero che in un campione "senza rimessa" di dimensione 100 si sono avuti 0 successi (essere infetto). Supponiamo poi, secondo Bayes, che la probabilità p di un successo sia una variabile aleatoria con densità uniforme su [0,1]. Ipotesi non debole (come scrive Michele Impedovo) ma, in mancanza di qualsiasi informazione sulla popolazione, la più ragionevole in quanto la densità uniforme è, tra tutte le densità definite su un intervallo, quella che ha la massima entropia probabilistica (vedi Boltzmann). Si può dimostrare (cfr. articolo 76, Introduzione al pensiero bayesiano, del sito www.webalice.it/mauro.cerasoli <http://www.webalice.it/mauro.cerasoli>  ) che, in generale, la densità condizionata f(p|Sn=k) vale  

 (n+1)(n k )pk(1-p)n-k.

Nel caso specifico, si riduce a 

f(p|S100=0) = 101(1-p)100

Pertanto la probabilità richiesta dal problema è l'integrale di questa densità tra 0 e 0,01 che vale circa 0,63762798 (calcolata con TI-nspire). 

Questo valore corrisponde a 1 -0,99101 dato da  Silvano Rossetto.

Saluti

Mauro Cerasoli
SS 5 bis n° 7, L'Aquila  67100
Tel. 3404178468
www.webalice.it/mauro.cerasoli

________________________________

Da: cabrinews-bounces a liste.keynes.scuole.bo.it per conto di Rossetto Silvano
Inviato: sab 23/05/2009 16.21
A: Lista di discussione sul software matematico
Oggetto: Re: [Cabrinews] Problema di probabilità

Caro Mauro, non trovo l'allegato. Sono molto
interessato alla tua soluzione: vedi se puoi
inviare nuovamente la soluzione usando
eventualmente un formato diverso. Silvano Rossetto

At 12.51 23/05/2009, you wrote:
>In allegato problema e soluzione
>Saluti
>Mauro Cerasoli
>SS 5 bis n° 7, L'Aquila  67100
>Tel. 3404178468
>www.webalice.it/mauro.cerasoli
>
>
>
>________________________________
>
>Da: cabrinews-bounces a liste.keynes.scuole.bo.it per conto di Paolo Bonavoglia
>Inviato: mer 20/05/2009 19.44
>A: Lista di discussione sul software matematico
>Oggetto: Re: [Cabrinews] problema
>
>
>Paolo Bonavoglia ha scritto:
>
>         Avevo provato a risolvere il problema
> usando il test del chi quadrato che per casi
> dicotomici come questo dà risultati equivalenti
> a quelli basati sulla distribuzione binomiale.
> Ho usato il test chi quadrato perché mi
> riusciva più facile da calcolare, ci sono le
> funzioni pronte di OO Calc o Excel p.es
> TEST.CHI che calcola direttamente la probabilità che l'ipotesi sia da accettare
>
>
>Ho ora provato a risolvere il problema
>direttamente con la distribuzione binomiale e mi
>sono reso conto che in questo caso è
>semplicissimo con Excel, perché serve solo il
>primo valore della binomiale che è semplicemente
>p^100; alla fine calcolo  l'integrale con il
>metodo dei trapezi e lo divido per 1/101
>(integrale alias area sotto l'intera distribuzione da 0 a 1).
>
>
>p       P(100)
>0,990   0,366032
>0,991   0,404916
>0,992   0,447886
>0,993   0,495364
>0,994   0,547821
>0,995   0,605770
>0,996   0,669783
>0,997   0,740484
>0,998   0,818567
>0,999   0,904792
>1,000   1,000000
>
>
>
>Area Simpson    0,006313
>Area totale (1/101)
>         0,009901
>Risultato       0,637628
>
>
>
>Ris. Analitico
>1-0,99^101
>         0,637628
>
>Risultato identico a quello di Silvano Rossetto.
>Ovvio: anche se il punto di partenza è un po'
>diverso, il metodo è fondamentalmente lo stesso
>fatto salvo il mio uso del calcolo numerico. E a
>questo punto comincio a pensare che sia il risultato corretto.
>
>A prima vista sorprende la notevole differenza
>con il risultato che avevo ottenuto con il test
>del chi quadrato. Credo proprio che la cosa sia
>dovuta al fatto che il test del chi quadrato per
>casi dicotomici equivale a usare una
>distribuzione gaussiana, la quale però
>approssima bene la binomiale solo se p e q non
>sono troppo diverse; qui invece siamo proprio
>nel caso di p >> q e quindi ci vorrebbe un test
>tipo chi quadrato basato sulla distribuzione di
>Poisson. Non ho conoscenza di un test simile.
>Una rapida scorsa allo Schaum di Statistica non
>ha dato alcun risultato. Ma molto probabilmente
>in questo caso darebbe ancora un risultato come quello di sopra.
>
>
>
>
>--
>
>         Paolo Bonavoglia
>
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