[Cabrinews] Il bit mancante

[professor Apotema]

Il modo di procedere non è unico. Farò un esempio pratico. E a questo scopo 
scelgo davvero 5 carte a caso da un mazzo! Uso le prime 5 carte di una 
partita a caso di freecell sul mio pc: 7 di fiori, 5 di cuori, 10 di quadri, 
donna di cuori e 5 di picche, che scrivo più concisamente come:
7F, 5C, 10Q, QC, 5P.
Immaginiamo che siano queste le carte scelte dallo spettatore.
Notiamo che vi sono due cuori. Sempre su 5 carte almeno due sono dello 
stesso seme!
La prima convenzione tra l'assistente e il mago è che il seme della prima 
carta indichi il seme della carta da indovinare.
Dunque l'assistenta lascerà allo spettatore una carta di cuori, il 5 o la 
donna, e metterà l'altra al primo posto. Vedremo quale gli conviene.
Dovrà poi usare le rimanenti 3 carte per indicare il valore della carta da 
indovinare.
Tre carte possono essere permutate in 3!=6 modi diversi e consentono di 
distinguere una fra 6 carte e non fra 12 (ci sono 13 valori, dall'asso al K, 
ma almeno uno è in mano al mago e quindi quello da indovinare può essere uno 
fra 12). Manca sempre un bit!
Ma se noi disponiamo i 13 valori in ordine ciclico ecco allora che due di 
essi distano al massimo 6 posti uno dall'altro! Per esempio la donna di 
cuori (12) è 7 posti dopo il 5 di cuori, ma il 5 è solo 6 posti dopo la 
donna:  K, A, 2, 3, 4, 5.
Allora l'idea è di usare le 6 permutazioni delle tre carte rimanenti per 
indicare il numero da 1 a 6 da sommare al valore della prima carta, usata 
per comunicare l'informazione del seme, per ottenere il valore della carta 
da indovinare!
Nel nostro caso dunque l'assistente lascia in mano allo spettatore il 5 di 
cuori e mette la donna di cuori al primo posto tra le carte da dare al mago. 
Ora con le tre carte rimaste deve trasmettere il numero 6, che sommato a 12 
fa 18 e quindi 5 (modulo 13).
Le tre carte (come suggeriva Tito) si seguono in un certo ordine rispetto a 
un ordine prestabilito in seme e valore tra tutte le carte del mazzo. Per 
esempio Come Quando Fuori Piove, e cioè prima i cuori poi i quadri, i fiori 
e le picche. All'interni di ogni seme si usa poi il valore nell'ordine 
crescente. Secondo questo ordine delle tre carte rimaste la prima è il 10 di 
quadri, poi il 7 di fiori e infine il 5 di picche: 10Q, 7F, 5P. Il 10Q è la 
carta 1, il 7F la carta 2 e il 5P la carta 3.
Se ordiniamo le 6 permutazioni di tre oggetti nell'ordine: 123, 132, 213, 
231, 312, 321 per indicare rispettivamente i numeri 1, 2, 3, 4,5, 6, allora 
dobbiamo fare la permutazione 321 e quindi mettiamo le tre carte 
nell'ordine: 5P, 7F, 10Q.
In definitiva consegniamo al mago le carte in questo ordine: QC, 5P, 7F, 
10Q.
Il mago vede che la prima carta è di cuori e pensa: la carta da indovinare è 
di cuori!
Poi vede che le tre carte successive, rispetto all'ordine stabilito tra le 
carte del mazzo, sono nell'ordine 321, che corrisponde alla permutazione 6.
La prima carta è una donna, che è il n.12.
12+6=18, che fa 5 modulo 13.
La carta è il 5 di cuori!
Indovinato!

Questo metodo, ovviamente, funziona sempre!
Il bit mancante?
Il vero trucco è che delle due carte (almeno) dello stesso seme è 
l'assistente che sceglie quale lasciare allo spettatore e così facendo 
guadagna il bit che gli sarebbe mancato!
Una mia alunna ha presto imparato a preparare le carte in pochi secondi e, 
davanti a una platea numerosa, in occasione di un ciclo di lezioni di teoria 
dell'informazione, il gioco è riuscito ogni volta sbalordendo gli 
spettatori. Inutile dire che funziona con spettatori matematicamente 
sensibili e quindi intellettualmente onesti! Chi è abituato al gioco delle 
tre carte non fa una piega!   :-)

Apotema