[Cabrinews] un quesito di maturità

[Paolo Negrini]

Come osservano Luigi Tomasi e Maurizio Frigeni, il procedimento di 
"passaggio al limite" nei singoli addendi proposto da Paolo 
Bonavoglia e' un po' troppo sbrigativo.  Per esempio, se considero la 
serie

(Somma, n=1,infinito)(2^(-n)*(1+2^(-n)))

e, notando che i fattori (1+2^(-n)) hanno limite 1, li sostituisco 
con 1, trovo come somma della serie il valore

(Somma, n=1,infinito)(2^(-n))

cioe' 1

Invece, evidentemente, la somma della serie e' 1 + 1/3 = 4/3, perche' 
si addizionano le somme di due serie geometriche di ragione 1/2 e 1/4.

Questo esempio serve a chiarire che non si puo' in generale "passare 
al limite in infiniti addendi".

Nel caso in esame invece la cosa funziona, e puo' essere aggiustata 
con opportune maggiorazioni, come accenna Maurizio.
Si puo' infatti ragionare come segue.

Siano, per n>2, a(n) e b(n) i valori

a(n) = 2 + (Somma, k=2,n)((1/k!)*(1-1/n)*(1-2/n)*...*(1-(k-1)/n))
=(1 + 1/n)^n

b(n) = 2 + (Somma, k=2,n)(1/k!)

Il testo del problema fornisce come dato noto (da utilizzare come ipotesi) che
  lim(n->Infinito) (a(n)) = e.
Non e' difficile dimostrare che anche b(n) ha un limite finito: la 
successione (b(n)) e' strettamente crescente, e facilmente si prova 
che ogni suo termine e' <3.

Siano ora p, n numeri naturali, p>n>2.  Allora

a(p) = 2 + (Somma, k=2,p)((1/k!)*(1-1/p)*(1-2/p)*...*(1-(k-1)/p)) >

>   2 + (Somma, k=2,n)((1/k!)*(1-1/p)*(1-2/p)*...*(1-(k-1)/p))

(nella seconda somma ci sono meno addendi, e questi sono tutti positivi).

Nella disuguaglianza

a(p) >  2 + (Somma, k=2,n)((1/k!)*(1-1/p)*(1-2/p)*...*(1-(k-1)/p))

valida per ogni p>n, passiamo al limite per p->infinito (mantenendo fissato n).
Otteniamo come limite del primo membro, "e"; come limite del secondo 
membro, "b(p)", in quanto ciascun fattore (1-h/p) al secondo membro 
ha limite 1, ed il numero di addendi del secondo membro rimane fisso.

Dunque, per ogni p>2 si ha

a(p) < b(p) <= e

(la prima disuguaglianza e' ovvia, la seconda e quanto abbiamo provato sopra).

Passando ora al limite per p->Infinito, e tenendo presente che

lim(n->Infinito) (a(n)) = e

concludiamo che anche

lim(n->Infinito) (b(n)) = e

come si voleva dimostrare.

Commenti.

Questa dimostrazione mi pare conforme alla richiesta del testo del 
quesito, il quale dice di fare riferimento al fatto che

lim(n->Infinito (1+1/n)^n = e

Certamente, il ricorso alla serie esponenziale,

e^x = Somma(k=1,Infinito) (x^k/k!)

con x posto =1, risolve la questione assai piu' velocemente, ma fa 
uso di uno strumento che non fa parte del programma per studenti 
liceali, e non e' previsto dal testo del problema.

Il ragionamento su esposto, per quanto "elementare", cioe' non basato 
su teorie di alto livello, e' certamente fuori della portata di uno 
studente liceale.  Viene spontanea la domanda su che cosa desiderasse 
l'estensore del quesito come soluzione "ideale".  Se la sua 
aspirazione era la dimostrazione formale (in questo o in altro modo), 
la proposta forse andava bene per studenti italiani sulla Luna, non 
all'estero.  Se si accontentava di una spiegazione "a buon senso", 
come accenna Luigi (il quale giustamente esprime perplessita'), cio' 
e' diseducativo.
Inoltre: poiche' il Ministero non fornisce griglie per la valutazione 
delle prove (e sarebbe ora che lo facesse) come avranno deciso i 
commissari di valutare lo svolgimento di questo quesito?

Non e' la prima volta che si presenta questa infelice circostanza:

a volte sono apparsi quesiti di tipo teorico troppo difficili: 
ricordo la "condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita' 
di una funzione in un intervallo": e' il Teorema di Lebesgue-Vitali, 
che utilizza la misura di Lebesgue in R, per spiegare il significato 
di "funzione continua quasi-dappertutto";

altre volte, questioni troppo ampie, per le quali e' difficile 
stabilire un criterio per distinguere una trattazione superciale e 
generica, da una abbastanza completa ed esauriente.  In questa 
categoria a mio avviso si colloca il quesito proposto quest'anno ai 
corsi sperimentali, sulle geometrie non euclidee.  Nella maggioranza 
dei casi e' stato confuso il concetto astratto di Geometria non 
eucledea con un modello, e non sono mancate le sviste anche nelle 
risoluzioni "della  prima ora" apparse in rete: ho anche letto che 
"nella geometria iperbolica le rette sono archi di iperbole".

Senza dubbio bisognerebbe calibrare meglio le domande che vengono 
rivolte ai nostri studenti, i quali non sono senza colpa, ma a volte 
sono davvero maltrattati.

Scusatemi per la lunghezza del messaggio

Paolo

-- 
prof. Paolo Negrini
Dipartimento di matematica
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