Re: [Cabrinews] un quesito di maturità

[Maurizio Frigeni]

Il giorno 10/feb/08, alle ore 18:48, Renato Diaferia ha scritto:

> Io ho provato a farlo così: considera lo sviluppo di (1+1/n)^n con  
> il binomio di Newton arrestando la somma al k-esimo termine.  
> Ottieni dopo un paio di passaggi, inserendo l'espressione corretta  
> per le combinazioni di n oggetti a k a k
>
> (1+1/n)^n = 1 + n/n + (n(n-1))/(2! * n^2) + (n(n-1)(n-2))/(3! n^3)  
> + ... +(n(n-1)(n-2)... (n-k))/(k! n^k)
>
> pensando di fare il limite per k a più infinito si ha che n(n-1) è  
> asintotico a n^2 e si semplifica. Quindi ricavi proprio  1 + 1/1! +  
> 1/2! + ...

Questa è la dimostrazione standard, che si trova su alcuni (non  
tutti) testi di analisi universitari. Però c'è una sottigliezza: non  
si può fare direttamente il limite della sommatoria, perché è vero  
che i termini (n(n-1)(n-2)... (n-k))/n^k tendono ad 1 ma allo stesso  
tempo il numero di addendi tende all'infinito. Si può aggirare la  
cosa facendo opportune maggiorazioni.

> Certo che pensare che un allievo di 5a scientifico sia in grado di  
> svolgere un quesito del genere è una delle solite utopie del nostro  
> ministero.

Concordo: domanda assurda.

> A meno che non ci sia un modo più facile, che io non ho visto.

Non credo.

Maurizio