Problema di maturità europea

Cominciamo col dimostrare la seguente proposizione.

Proposizione 1. La serie numerica

converge.

DIMOSTRAZIONE. Applichiamo il criterio del rapporto; risulta

;

pertanto la serie in esame converge. (

Indichiamo ora con e* la somma della serie, cioè poniamo

.

Dobbiamo dimostrare la seguente proposizione.

Proposizione 2. Vale la seguente uguaglianza

.

DIMOSTRAZIONE. Lo sviluppo della potenza n-esima del binomio ci dà

(1)

Dove il termine generico si può scrivere

(2)

In particolare si ricava

(3)

Dalla (1) e dalla (3) otteniamo

Fissiamo r e passiamo al limite in ambedue i membri per n ( +(; allora, tenendo anche conto della (2), risulta

, (k = 1, 2, ..., r),

e quindi

La serie , essendo il resto della serie numerica (che ha come somma e*), è convergente e tende a zero per r ( +( e quindi

( 0 per r ( +(.

Ne segue l’asserto. (

OSSERVAZIONE. Ovviamente i precedenti risultati si possono generalizzare, nel senso che si può dimostrare che la funzione esponenziale ex si può definire in due modi tra loro equivalenti

,

.

Problema di maturità europea

Ercole

2008-02-11