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Anna Cristina Mocchetti ha scritto:
<blockquote cite="mid:47AF286B.8090900@libero.it" type="cite">
<meta content="text/html;charset=ISO-8859-15"
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Buongiorno amici,<br>
certamente qualcuno di voi mi può aiutare a risovere il quesito
4"scuole italiane all'estero (europa)del 2007:<br>
<br>
<b>La formula seguente: e = 1+ 1/1! +1/2! +......... è dovuta a
Leonardo Eulero di cui quest'anno ricorre il terzo centenario della
nascita. Per dimostrarla può essere utile ricordare che e = lim(per n
tende a infinito) di (1 + 1/n)^n ? Si illustri il ragionamento seguito.<br>
</b></blockquote>
Se non ricordo male Eulero usava semplicemente il binomio di Newton
applicandolo disinvoltamente anche per n = infinito.<br>
<br>
Risulta usando i coefficienti binomiali: (1 + 1/n)^n = 1 + (n/1!)/n +
[n(n-1)/n^2]1/2! + [n(n-1)(n-2)/n^3]1/3! + ...<br>
Sostituendo n con infinito i quozienti tra parentesi quadre valgono 1 e
resta la serie 1 + 1 + 1/2! + 1/3! ...<br>
Il ragionamento di Eulero si traduce facilmente nel linguaggio dei
limiti. Basta sostituire la frase " i quozienti tra parentesi quadre
valgono 1 quando n vale infinito" con "i quozienti tra parentesi quadre
tendono a 1 per n che tende a infinito".<br>
<br>
Non c'è alcun bisogno di conoscere la serie di Maclaurin.<br>
<br>
E' un simile ragionamento alla portata degli studenti che escono da un
liceo? Bella domanda!!<br>
<br>
<br>
<pre class="moz-signature" cols="72">--
Un cordiale saluto
Paolo Bonavoglia
Cannaregio 3027/R
30121 V E N E Z I A
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