[Cabrinews] Barbier e Buffon

Dom 25 Gen 2009 11:09:43 CET

Caro Andrea 
ti rispondo riportando alcuni tuoi scritti e inserendo le mie risposte:
Andrea Centomo
Se a qualcuno interessa il rapporto tra l'esperimento dell'ago di Buffon e il teorema di Barbier può trovare un articoletto del 2001 qui http://www.cut-the- knot.org/ctk/August2001.shtml. Se non sbaglio Cerasoli ha in mente questo nel suo intervento ... 
diversamente da lui però l'autore dell'articolo conclude dicendo  "Another wonder: after all, Barbier's theorem has nothing to do with chance and probability." Mah ... che selva oscura la matematica!

Mauro Cerasoli
Caro Andrea, quando conobbi i teoremi di Buffon e di Barbier ancora doveva nascere Internet e quindi il bel noto sito che citi. Intanto, per chi non conosce l’inglese, mi permetto di tradurre quello che dice l’autore del famoso sito: “Il teorema di Barbier non ha niente a che vedere con il caso e la probabilità”. Bene: l’autore dice una falsità e dimostra di essere un po’ ignorante. E’ quasi come per il teorema di Weierstrass sull’approssimazione di funzioni continue con polinomi e il teorema di Bernstein al riguardo. Weierstrass dimostrò che esistono dei polinomi che approssimano le funzioni e basta. Punto. Bernstein, con un ragionamento di tipo probabilistico, intendo dire utilizzando concetti e formule della teoria della probabilità, disse: ecco, questi sono alcuni polinomi di cui parlava Weierstrass: li trovò. La stessa cosa accade, più o meno, per il teorema di Barbier citato da cut-the-knot.

Andrea Centomo
Io ho visto che c'è un teorema di Barbier che dice che tutte le curve di ampiezza w hanno perimetro  pigreco*w. Saresti così gentile da dirmi dove posso trovare enunciato e dimostrazione di quello sulla proabilità? Mi interessa la cosa.

Mauro Cerasoli
Caro Andrea, mi fa molto piacere che la cosa ti interessi così posso spiegare la differenza che c’è tra il teorema di Barbier [Barbier’s theorem su Wikipedia] (tipo Weierstrass (nella voce italiana “Teorema di approssimazione di Weiertrass” di Wikipedia il nome di Bernstein non compare, né dei suoi polinomi)), al quale però devi aggiungere che l’ampiezza è costante [Curve of constant width su Wikipedia]) di cui parlavi prima rifacendoti a cut-the-knot e quello completo-probabilistico (tipo Bernstein che purtroppo non è su Wikipedia). 
Eccoti quanto chiesto, la cui dimostrazione elegante, fatta senza integrali, puoi trovare alle pagg. 163-166 del volume “Introduzione alla Probabilità” di K. Baclawski, M.Cerasoli, G.C. Rota, edito da Pitagora per conto dell’UMI nel 1984 e, unico nella storia delle pubblicazioni UMI, credo, ristampato nel 1990. Un cenno al teorema è anche alla fine dell’articolo 53 del mio sito.
Teorema di Barbier (probabilistico). Sia data una curva regolare convessa chiusa di lunghezza finita l (elle). Essa viene lanciata a caso sul piano dove sono fissate le rette di equazione y = k (k intero). Sia m il numero medio di punti (speranza matematica) che essa ha in comune con le rette. Allora vale la formula: 2l = ?m. 
Semplice e bellissima, aggiungo, per chi ha il concetto di bellezza matematica (che non stiamo qui a definire perché non sappiamo).
Se ora la curva è di ampiezza (width) costante w  (come per esempio un cerchio, in cui w è il diametro o come il triangolo di Reuleaux) si deduce che m è la costante 2w e quindi, come caso particolare del teorema di Barbier (probabilistico), ottieni quello geometrico, che citi tu, preso da cut-the-knot, ovvero l =?w.
Morale della favola: qualcuno potrebbe scrivere all’autore del sito cut-the-knot facendo notare queste cose oppure preparare, meglio di quella inglese, la voce in italiano relativa al teorema di Barbier (visto che non c’è) per Wikipedia. Io purtroppo ho ben altro da fare, di più piacevole, che scrivere le voci di Wikipedia, anche perché non voglio apparire come uno che sa tutto. C’è già il buon Dio per questo. Mi è bastato invece imparare da Gian Carlo Rota questo e altri bei teoremi di probabilità geometrica (come quello di Crofton) per poi insegnarli nei miei corsi universitari per fare felici me e gli studenti, salvandoli dall’inferno della teoria della misura. 
La formula di Barbier diventa il teorema dell’ago di Buffon quando la curva è un segmento (ago) di lunghezza minore di uno. Allora m coincide con la probabilità p che l’ago intersechi una delle rette. Buffon cercava questa probabilità e quindi concluse con la formula p = 2l/?. Quindi la probabilità si calcola se conosci la lunghezza. Potrei però pensare di conoscere la probabilità e quindi calcolo l = ?p/2. Questa seconda formula dà l’interpretazione probabilistica di una lunghezza. Se invece di un segmento abbiamo una curva generica, ritorniamo al teorema di Barbier, la formula l = ?m/2 ci dice che la lunghezza di una curva è proporzionale a “un valor medio”, quindi si ha di nuovo un’interpretazione probabilistica. Il Metodo Monte Carlo parte da qua. Poiché le lunghezze (ma anche le aree e i volumi) si calcolano con gli integrali, ecco che il metodo permette di risolvere problemi con i computer (cioè con software) quando non è possibile calcolare integrali (come spesso accade nella realtà). 
Spero di aver fatto felici te e anche gli amici di Cabrinews con questi chiarimenti. 

Con osservanza
Mauro

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Inviato: ven 23/01/2009 18.56
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Oggetto: [Cabrinews] Barbier e Buffon

Se a qualcuno interessa il rapporto tra l'esperimento 
dell'ago di Buffon e il 
teorema di Barbier può trovare
un articoletto del 2001 qui 

http://www.cut-the-
knot.org/ctk/August2001.shtml

Se non sbaglio Cerasoli ha in mente questo nel 
suo
intervento ... diversamente da lui però l'autore 
dell'articolo conclude 
dicendo 

"Another wonder: 
after all, Barbier's theorem has nothing 
to do 
with chance and probability."

Mah ... che selva oscura la matematica!

Cordialmente 
Andrea Centomo
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