[Cabrinews] teorema di Tolomeo e applicazioni

[roberta.rovetta a tin.it]

Salve, vorrei sottoporre alla lista il seguente problema (che ho letto 
di recente) per il quesito finale lasciato aperto.

PROBLEMA: Sono dati 
un triangolo ABC (dove A, B, C rappresentano città) ed un punto P 
qualunque complanare col triangolo. Supponiamo di voler collegare P con 
A, P con B e P con C con un cavo. Supponiamo inoltre che il 
collegamento di P con A costi “a” euro al metro, il collegamento di P 
con B costi “b” euro al metro ed il collegamento di P con C costi “c” 
euro al metro. L’obiettivo è individuare la posizione di P affinché la 
spesa di collegamento sia minima.

Soluzione:

supponiamo a>=b, a>=c
Calcoliamo x = BC/a
Definiamo un punto D tale che:
-) D appartenga al 
semipiano confinante con BC non contenente A
-) DB = x*c
-) DC = x*b
Se 
a<=b+c  allora possiamo disegnare il triangolo BCD.
In tal caso, per il 
teorema di Tolomeo in forma generalizzata si ha che il punto P che 
minimizza la spesa a*PA+b*PB+c*PC deve trovarsi sull’intersezione (non 
coincidente con D) tra il segmento AD e la circonferenza circoscritta 
al triangolo BCD.

(e questo mi è chiaro)

Io vorrei sapere come si può 
risolvere il problema nel caso in cui non sia soddisfatta l’ipotesi 
a<=b+c (sempre con a>=b e a>=c), ad esempio con a=”10 euro al metro”, 
b=”2 euro al metro” e c=”3 euro al metro”.

Mille grazie.
Distinti 
saluti
Roberta Rovetta